Hormigas

(Por Adrián Paenza) (sí, paenza quería demandar garcadas por copyright, hacete marlear por ezequiel!)

El que sigue es un problema maravilloso para pensar. Permítame sugerirle lo siguiente: lea el enunciado y entreténgase buscando la respuesta. No hace falta que la encuentre rápido. Más aún: ni siquiera hace falta que la encuentre. Lo único que tendrá valor será recorrer los caminos en la búsqueda de la solución. Si usted lee la respuesta, sin haber intentado avanzar por las suyas, se pierde de disfrutar el trayecto.

El problema: en una barra de un metro de longitud, hay 100 hormigas anónimas (en el sentido de que son indistinguibles unas de otras). Por ahora, están quietas. Sin embargo, se sabe que a partir de un determinado momento todas las hormigas van a caminar a la misma velocidad: un metro por minuto.

Algunas caminan para un lado y otras para el otro. Pero la regla que siguen es la siguiente: cuando dos hormigas chocan, ambas dan vuelta y salen caminando en el sentido contrario al que traían.

Por supuesto, me apuro en decir que todo es ficticio y que voy a hacer de cuenta de que las hormigas no tienen espesor, cada una de ellas ocupa un solo punto de la barra sobre la que están caminando. Es decir, son condiciones ideales (e inconseguibles).

Como decía más arriba, supongo que todas las hormigas están quietas y que van a salir caminando en alguna dirección, todas al mismo tiempo.

Aquí van entonces un par de preguntas:

Si en los bordes de la barra no hay nada que las detenga, es decir, cada vez que una de ellas llega a cualquiera de los bordes se cae. Entonces, ¿cuánto tiempo tiene que transcurrir desde el momento que empiezan a caminar hasta que se caen todas? ¿Depende de la posición inicial?

Ahora le toca a usted. Yo sé que es tentador leer lo que sigue acá abajo, pero no lo haga sin haberle dedicado un rato a pensar cómo hacer para contestar las preguntas. En todo caso, siga leyendo el diario por otro lado.

Solución

Cuando yo tengo un problema de estas características lo que me resulta útil es empezar pensando en casos particulares o más sencillos. En este caso, yo empezaría reduciendo el número de hormigas y ver si eso ofrece alguna idea de cómo abordar el caso general.

Voy a suponer entonces que uno tiene nada más que dos hormigas. Si las dos caminan en la misma dirección, al final, antes de completar un minuto, se caen las dos. En todo caso, tardarán exactamente un minuto, si alguna de las dos estaba en un extremo del palo y empieza a caminar hacia la otra punta. En cualquier otro caso, se caen antes del minuto.

En cambio, si caminan en dirección contraria..., en el momento de enfrentarse, como cada una sale para el otro lado del que venía caminando, uno podría pensar que en realidad es como si fueran transparentes: ¡se atraviesan como si no existiera la otra!

Antes de avanzar con la lectura, convénzase de que me siguió con el último razonamiento. Va de nuevo: cuando las dos hormigas chocan, da lo mismo que cada una se dé vuelta y empiece a caminar para el otro lado, que pensar que en realidad se cruzaron como si la otra no hubiera existido.

Como usted advierte, esta manera de modelar el problema, es decir, de olvidarse de que arrancan en distintos sentidos, es muy útil, no solamente para el caso cuando uno tiene sólo dos hormigas, sino para cuando uno tenga cien, como en el problema original.

¿No le dan ganas ahora de seguir pensando el problema usted? Es que con el modelo que le propuse en el párrafo anterior quizá pueda avanzar sola/solo sin tener que leer lo que sigue.

De todas formas, para contestar la pregunta, ahora tenemos una herramienta nueva: cada vez que se enfrentan dos hormigas, en lugar de “chocar” y dar vuelta, da lo mismo pensar que se atraviesan como si fueran transparentes. Pensando el problema de esta forma, me parece que la respuesta está cada vez más cerca.

En todo caso, la escribo acá: alcanza con un minuto porque como todas las hormigas caminan a un metro por minuto, arranquen desde donde arranquen, como ya nada las va a detener y uno puede hacer de cuenta de que nunca cambian la dirección, porque cruzan de largo, entonces, en un minuto, ¡se caen todas!

Más aún: las hormigas se van a caer todas a lo sumo en un minuto independientemente de cuál haya sido la posición inicial de la que partieron.

Moraleja: aunque usted no lo crea, esto también es hacer matemática. Imaginar modelos para poder pensar problemas es no sólo hacer matemática, sino matemática fina. Y justamente de eso se trata. De disfrutar de pensar.

* El autor intelectual de este problema es Matías Graña, profesor del Departamento de Matemática de Ciencias Exactas y Naturales de la UBA, además de coguionista del programa Alterados por Pi, que se emite por el canal Encuentro.