Problema

El siguiente problema es uno de los más lindos que conocí para testearse personalmente.

Téngame confianza: lea el enunciado pero no lea la solución. Tómese tiempo. Llévelo con usted. Al principio le va a parecer imposible de resolver. Y después, cuando haya encontrado la solución, va a pensar “¿cómo puede ser que no se me haya ocurrido antes?”.

Por otro lado, aunque ya sea redundante en estas columnas, créame que no hay trampa, no hay nada que usted no pueda hacer ni entender. Sólo hace falta pensar. Y disfrutar al hacerlo.

Acá va: se tienen 100 (cien) monedas apoyadas en una mesa. De ellas, 10 (diez) son “caras”. Las otras 90 (noventa) son “cecas”.

Las monedas son todas iguales, salvo que hay diez apoyadas de una forma y las restantes, de la otra. Ahora, yo le tapo los ojos con un pañuelo. Revuelvo las monedas para que usted no pueda recordar ni saber dónde estaban unas y otras (caras y cecas).

El problema que usted tiene que resolver es el siguiente: tiene que separar las monedas en dos grupos –no necesariamente iguales–, de manera tal que queden el mismo número de “caras” en un grupo que en el otro.

Está permitido que usted (siempre sin mirar) dé vuelta las monedas tantas veces como quiera, las de cualquiera de los grupos. Pero lo que usted tiene que poder garantizar es que cuando terminó el proceso, haya tantas “caras” en un grupo como en el otro.

Ahora lo dejo a usted. Le anticipo de todas maneras que aunque no parezca posible (sin “espiar” o “hacer trampa”) el problema tiene solución. También lo invito a que siga con otra parte del diario y solamente vuelva (si quiere) cuando le haya dedicado un rato para pensarlo.

Eso sí. Es muy poco probable que a uno se le ocurra de entrada pero, como escribí más arriba, tiene una solución sencilla y al alcance de todos.

Solución

Yo sabía que usted iba a volver, pero lo imagino acá sólo porque quiere corroborar que lo que usted encontró es lo mismo que le voy a proponer yo.

Si pensó mucho y al final se aburrió y/o no le salió, le propongo que haga lo que hacemos los matemáticos cada vez que tenemos un problema de este tipo: tratar de simplificarlo. Es decir, considerar “casos particulares”, con menos monedas. Intente con cuatro monedas en donde sólo una de ellas sea “cara”, o con seis monedas y dos “caras”. Pero no se dé por vencido. ¿Qué gracia tiene leer lo que sigue?

Ahora, claro, si ya llegó a un punto en donde está dispuesto a explotar (o a romper el diario), siga leyendo. Acá abajo está la solución.

Lo que uno tiene que hacer es elegir cualquier grupo de diez monedas. No importa la forma en que uno las elija. Sólo separe diez monedas de un lado (o sea, deja las otras 90 formando el otro grupo). Entonces dé vuelta las 10 que eligió (es decir, las que son “caras” pasan a ser “cecas” y viceversa).

¿Qué pudo haber pasado? Muchas cosas. Usted pudo haber dejado las diez “caras” entre las 90 que están en uno de los grupos. En ese caso, las diez que usted eligió para el otro grupo son cecas. ¿Qué pasa si usted las da vuelta?: esas diez quedan todas caras. Y del otro lado, usted ya sabía que había diez caras también.

O sea, que este sistema, en este caso, funcionó para obtener la solución. Pero me lo imagino pensando: “sí, funcionó, pero justo en este caso porque yo dejé las diez caras en el grupo de 90”. La pregunta que sigue es si esa solución servirá siempre. Por ejemplo, si al haber separado las diez hubiera incluido cuatro que fueran caras, ¿funcionará también? (Aquí, usted debería seguir sola/solo otra vez.)

Continúo: si usted eligió diez monedas, de las cuales cuatro son caras, quiere decir que en el grupo de 90 quedaron las otras seis (caras). Pero también significa que en el grupo de diez hay cuatro caras y seis cecas. Si usted las da vuelta, como yo hice en el ejemplo anterior, quedan ¡seis caras en el grupo de diez y seis caras en el grupo de 90!

Es decir, el problema vuelve a quedar solucionado. ¿Qué le parece que puede pasar si al elegir las diez monedas usted se quedaba con siete caras? ¿Quiere pensarlo usted?

Como advierte (si es que sigue con el razonamiento), el problema está solucionado. Todo lo que hay que hacer es separar (en cualquier caso) diez monedas de cualquier forma, y darlas vuelta. Eso garantiza que haya tantas caras de un lado como del otro.

¿Es anti-intuitivo? No sé. Creo que no. Lo que a uno le pasa es que pelea contra la noción de que el problema no tiene solución y, por lo tanto, no quiere pensar. Pero anti-intuitivo no me parece que sea.

¿No le resultó interesante? Es que muchas veces la solución está ahí, enfrente de nuestra nariz, pero uno, como intuye que deber ser muy complicada, se resiste a pensar. Abandona antes de empezar (casi). En particular, si uno tiene la tendencia a no creerse capaz ni potente para resolver problemas. Eso queda para los otros. Pero usted, ¿no forma parte de “los otros”?

Nota: El problema fue planteado por C. E. Mungan, en el otoño del año 2005